Mathe-Rätsel: Das Mittagessen in der Kantine

[SteveJ]

In Kantinen und Mensen wird inzwischen kaum noch mit Bargeld hantiert.
In Selmas Firma ist das anders: Die junge Frau hat immer ein paar Euro und ein paar Cent dabei, womit sie ihr Mittagessen problemlos bezahlen kann.

Eines Tages macht sie eine überraschende Entdeckung:

• Sie hat weniger als zehn Euro eingesteckt.
• Wenn sie die drei Ziffern dieses Betrags vertauscht, erhält sie exakt den Preis des Mittagessens, das sie bestellt hat.
• Und wenn sie nochmals eine oder mehrere Ziffern vertauscht, ergibt sich exakt der Betrag, den sie nach dem Bezahlen des Mittagessens noch hat.

Mit wie viel Geld hat Selma die Kantine betreten?

Hinweis: Alle drei Ziffern der Geldbeträge sind größer als Null.

Spoiler: Lösung

Selma hatte 9,54 Euro eintstecken, als sie in die Kantine gegangen ist.

Wir bezeichnen die ursprüngliche Summe, die Selma besaß, mit abc, wobei a, b, c die drei Ziffern größer als 0 sind.
Der Betrag abc entspricht also 100a + 10b + c Cent.

Mit den drei Ziffern a, b, c sind folgende sechs verschiedenen Kombinationen möglich:

• abc
• acb
• bac
• bca
• cab
• cba

Für den Preis des Essens und das Restgeld nach dem Bezahlen gibt es zwei Möglichkeiten:
Beide Beträge beginnen mit derselben Ziffer oder mit unterschiedlichen Ziffern.

Beginnen wir mit der ersten Möglichkeit. Dabei sind zwei Varianten möglich:

1. bac + bca = abc
2. cab + cba = abc

Für die erste Gleichung kann es keine Lösung geben, weil die Summe der Einerstellen c und a wieder c ergeben müsste, was nur für a=0 möglich ist.
Die drei Ziffern sollen jedoch alle größer als Null sein.

Zu Gleichung zwei:
a und b ergeben bei der Einerstelle c und bei der Zehnerstelle b. Dafür müsste entweder gelten: b=c.
Dies ist jedoch nicht möglich, weil dann b+a als Ergebnis b haben müsste, was nur mit a=0 klappt. a=0 ist jedoch laut Aufgabe nicht erlaubt.
Oder aber es gibt bei a+b einen Übertrag von 1, also muss gelten a+b > 9.

Wir müssen nun folgende Gleichungen lösen:

• a + b = 10 + c (Einer)
• a + b + 1 = 10 + b (Zehner)
• c + c + 1 = a (Hunderter)

Aus der mittleren Gleichung erhalten wir a = 9. Daraus ergibt sich c = 4 und b = 5.
Selma hatte also 9,54 Euro einstecken und die anderen beiden Beträge sind 4,95 Euro und 4,59 Euro.

Aber ist das auch die einzig mögliche Lösung?
Um das zu klären, müssen wir noch die Varianten untersuchen, bei denen der Preis des Essens und das Restgeld mit unterschiedlichen Ziffern beginnen.
Zunächst der Fall, dass alle drei Beträge unterschiedlich beginnen - also:

c?? + b?? = abc

Für c?? kommen cab und cba in Frage. Für b?? sind es bac und bca.
bac ist nicht möglich, weil die Summe der Einerstelle ebenfalls c lautet (siehe oben).

Bleiben also folgende zwei Varianten übrig:

1. cab + bca = abc
2. cba + bca = abc

Ich verzichte hier auf eine detaillierte Beschreibung der Berechnung – verrate aber das Ergebnis: Es gibt in beiden Fällen keine ganzzahligen Lösungen.

Es fehlt noch der Fall, dass eine der beiden oberen Zeilen wie die Summenzeile mit a beginnt.
Dies ist jedoch nur möglich, wenn es einen Übertrag gibt, der hier jedoch nicht erlaubt ist.

Womit bewiesen wäre, dass 9,54 Euro die einzig mögliche Lösung ist.

Bitte keine Lösungen und Lösungswege posten!

 

[raw420]