SteveJ
V:I:P
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Wir nehmen einmal Folgendes an:
Es ist Punkt 17 Uhr und man schauen tauf eine große Wanduhr.
Der Winkel zwischen dem großen und dem kleinen Zeiger beträgt um diese Uhrzeit exakt 150 Grad.
In den kommenden Minuten wird der große Zeiger dem kleinen immer näher rücken, der Winkel zwischen ihnen verkleinert sich dadurch.
Kurz nach 17:25 Uhr wird der große Zeiger über dem kleinen stehen. Der Winkel ist dann Null Grad.
Aber vorher gibt es einen Zeitpunkt, zu dem der Winkel zwischen den Zeigern ein rechter Winkel ist, also exakt 90 Grad groß.
Wie spät ist es zu diesem Zeitpunkt?
Gesucht ist die Uhrzeit auf die Sekunde genau, wobei die Sekunde selbst auf eine ganze Zahl gerundet ist.
Es ist Punkt 17 Uhr und man schauen tauf eine große Wanduhr.
Der Winkel zwischen dem großen und dem kleinen Zeiger beträgt um diese Uhrzeit exakt 150 Grad.
In den kommenden Minuten wird der große Zeiger dem kleinen immer näher rücken, der Winkel zwischen ihnen verkleinert sich dadurch.
Kurz nach 17:25 Uhr wird der große Zeiger über dem kleinen stehen. Der Winkel ist dann Null Grad.
Aber vorher gibt es einen Zeitpunkt, zu dem der Winkel zwischen den Zeigern ein rechter Winkel ist, also exakt 90 Grad groß.
Wie spät ist es zu diesem Zeitpunkt?
Gesucht ist die Uhrzeit auf die Sekunde genau, wobei die Sekunde selbst auf eine ganze Zahl gerundet ist.
Wir nutzen für die Positionen der Zeiger den Winkel alpha, um den sich der Minutenzeiger ab 17:00 Uhr dreht.
Der Winkel zwischen der 12 und dem Minutenzeiger beträgt also alpha.
Der Stundenzeiger bewegt sich in derselben Zeitspanne um den Winkel alpha/12, weil er in einer Stunde nur eine zwölftel Umdrehung schafft.
Da der kleine Zeiger zu Beginn genau auf der 5 steht, beträgt der Winkel zwischen der 12 und dem Stundenzeiger 150 + alpha/12.
Der Winkel zwischen den Zeigern von 90 Grad wird erreicht, wenn gilt:
Winkel kleiner Zeiger minus Winkel großer Zeiger = 90 Grad
Das schreiben wir auf (alle Winkelangaben in Grad):
150 + alpha/12 – alpha = 90
60 = 11/12 * alpha
alpha = 720/11 = 65,4545..
Die Minutenzahl lässt sich nun leicht berechnen. 180 Grad des großen Zeigers entsprechen 30 Minuten. Also gilt:
Minuten = alpha * 30/180
Minuten = 720/11 * 30/180
Minuten = 720/11 * 1/6
Minuten = 120/11
Minuten = 10,90909..
Die Uhrzeit ist demnach 17:00 Uhr plus 10,90909.. Minuten.
0,90909.. Minuten entsprechen 54,5454.. Sekunden.
Gerundet auf ganze Sekunden erhalten wir also das Ergebnis: 17:10:55 Uhr
Der Winkel zwischen der 12 und dem Minutenzeiger beträgt also alpha.
Der Stundenzeiger bewegt sich in derselben Zeitspanne um den Winkel alpha/12, weil er in einer Stunde nur eine zwölftel Umdrehung schafft.
Da der kleine Zeiger zu Beginn genau auf der 5 steht, beträgt der Winkel zwischen der 12 und dem Stundenzeiger 150 + alpha/12.
Der Winkel zwischen den Zeigern von 90 Grad wird erreicht, wenn gilt:
Winkel kleiner Zeiger minus Winkel großer Zeiger = 90 Grad
Das schreiben wir auf (alle Winkelangaben in Grad):
150 + alpha/12 – alpha = 90
60 = 11/12 * alpha
alpha = 720/11 = 65,4545..
Die Minutenzahl lässt sich nun leicht berechnen. 180 Grad des großen Zeigers entsprechen 30 Minuten. Also gilt:
Minuten = alpha * 30/180
Minuten = 720/11 * 30/180
Minuten = 720/11 * 1/6
Minuten = 120/11
Minuten = 10,90909..
Die Uhrzeit ist demnach 17:00 Uhr plus 10,90909.. Minuten.
0,90909.. Minuten entsprechen 54,5454.. Sekunden.
Gerundet auf ganze Sekunden erhalten wir also das Ergebnis: 17:10:55 Uhr
