Rätsel: Das 100-Türen-Problem

[SteveJ]

Die folgende Aufgabe sollten Schüler der 5. bzw. 6. Klasse lösen können:

Man stelle sich zu Beginn ein Haus vor mit zehn Stockwerken und in jedem der zehn Stockwerke gibt es zehn Räume.
Zu jedem Raum führt genau eine Türe.
Insgesamt gibt es folglich 100 Räume bzw Türen.

Am Morgen betritt die erste Person das Haus geht zur ersten Türe und öffnet diese.
Anschließend läuft sie zur zweiten Türe und macht auch diese auf.
Danach geht er zur dritten Türe und öffnet natürlich auch diese.
So macht die Person weiter im gesamten Haus und öffnet jede einzelne Türe bis sie bei der hundertsten Türe angekommen ist.

Kurze Zeit darauf betritt Person 2 das Haus.
Aber statt jedoch zu jeder Türe zu gehen, geht sie nur zu jeder zweiten Türe und verschließt diese wieder.
Nachdem Person 2 also durch das ganze Haus gelaufen ist und jede zweite Türe geschlossen hat, sind nun noch die Türen mit einer ungeraden Nummer offen.

Jetzt betritt Person Nummer 3 das Gebäude.
Zielstrebig geht sie zu Tür Nummer 3 und verschließt diese anschließend läuft sie drei Türen weiter bis zur Tür Nummer 6.
Weil diese verschlossen ist, öffnet sie diese wieder.
Während Person 3 durchs gesamte Haus läuft, geht sie nur an jede dritte Türe.
Ist diese geöffnet, macht sie diese wieder zu, ist sie offen, wird sie geschlossen.
Person 4 macht also immer das Gegenteil von dem was sie vorfindet

Dieses Prinzip gilt für jede weitere Person.
Person Nummer 4 geht beispielsweise nur an jede vierte Türe.
Ist sie zu, dann wird sie geöffnet. Ist sie bereits offen, dann wird sie geschlossen.



So geht das weiter bis am Ende die hundertste Person das Gebäude betritt zur einhundertsten Türe geht und sie entweder öffnet oder schließt, je nachdem wie sie
vorgefunden wird.

Die Fragen, die sich jetzt stellen:

Welche Tür(en) ist/sind am Ende offen, welche geschlossen und welche wird/werden am häufigsten geöffnet und geschlossen? ​

Spoiler: Lösung

Um das zu beantworten können wir uns zunächst ein paar Dinge klar machen:

1. An Türe Nummer 1 geht einzig die erste Person. Alle anderen Personen laufen einfach daran vorbei.
   
   
2. An Tür Nummer 1 kommt nur Person Nummer 1, an Türe 2 kommen nur die Person 1 und 2. an Türe 3 nur die Person 1 und 3 und an die vierte Türe gehen beispielsweise nur die Person 1, 2 und 4.
   Alle nachfolgenden Personen laufen einfach daran vorbei.
   Das bedeutet: die x-te Türe wird immer zuletzt von der x-ten Person geöffnet oder geschlossen.
   
   
3. An wie viele Türen geht eine bestimmte Person insgesamt?
   Die erste Person geht an 100 Türen, die zweite Person geht nur noch an 50 Türen, die dritte Person nur noch an 33 Türen.
   Die 13. Person z.B geht an genau sieben Türen nämlich an die Tür Nummer 13, 26, 39, 52, 65, 78 und 91.

Glücklicherweise müssen wir das nicht für jede Zahl durchspielen, stattdessen können wir rechnen:
Wie oft passt die Zahl x in die 100?

Bei der 13 heißt das wir rechnen 100:13 das ist 7 Rest 9, wobei die Rest 9 uns hier nicht weiter interessieren...
Interessant ist aber die 7.

Wenn man das für jede Zahl ausrechnet (oder scharf überlegt), fällt einem auf, dass die 50. Person die letzte Person ist, die an mindestens zwei Türen geht.
Danach geht jede folgende Person nur noch an seine "eigene" Türe, also die mit der gleichen Nummer.

Man kann sich jetzt mühevoll alle Vielfachen bis 100 von jeder einzelnen Zahl zwischen 1 und 100 notieren.
Es könnte sich aber auch eine wichtige Erkenntnis durchsetzen:

Entscheidend ist nicht die Frage an wie viele Türen geht eine bestimmte Person, sondern wie viele Personen und vor allem welche gehen an eine bestimmte Tür.

Nehmen wir dazu z.B. die Tür Nummer 13.
Die 13. Person ist die letzte Person, die an diese Türe geht, Person Nummer 1 ist die erste die an sie geht.
Dazwischen geht niemand anderes mehr an diese Türe.
Weil Person 1 die Türe aufgemacht hat, muss Person 13 sie wieder verschließen.

Betrachten wir als nächstes beispielsweise die Tür Nummer 15.
Person 15 war die letzte Person die mit der Türe 15 etwas gemacht hat.
Was das war kann man herausfinden, wenn man weiß, wer unmittelbar zuvor an der Türe war und was diese Person gemacht hat:'
Vor Person 15 war Person Nummer 5 an dieser Türe und vor Person 5 war es Person Nummer 3 und davor natürlich Person Nummer 1.
1, 3, 5 und 15 waren die einzigen Personen die mit dieser Türe interagiert haben.
1 hat die Türe aufgemacht, 3 muss sie wieder zugemacht haben, 5 hat sie wieder geöffnet und daher macht Person 15 die Türe zu.

Viele von Euch ahnen vermutlich bereits, worauf das hinausläuft, ich zeige Euch dennoch zwei weitere Beispiele:

Nehmen wir zunächst die Tür 12.
Alle Personen die an diese Türe gehen, sind Nummer 1, 2, 3, 4, 6 und 12.
1 macht die Türe auf, 2 macht sie zu, 3 macht sie auf, 4 macht sie zu, 6 macht sie wieder auf und Nummer 12 macht sie zu.

Jetzt noch die Tür 16.
An diese Türe gehen die Personen Nummer 1, 2, 4, 8 und 16.
Eins öffnet, 2 schließt, 4 öffnet, 8 macht wieder zu und Person Nummer 16 öffnet die Türe und sie bleibt auch auf!

Was steckt jetzt mathematisch noch dahinter?
An Stelle mit den Vielfachen-Listen zu arbeiten, kann man umgekehrt mit den Teilern arbeiten!
Das ist schneller und man kann sich so ein paar Überlegungen einsparen, die ich hier gezeigt habe.
Es sind aber häufig Überlegungen, die Schüler machen und deswegen habe ich sie hier gezeigt.

Die Nummern der Personen, die an eine bestimmte Türe gehen, entsprechen den Teilern der dazugehörigen Türnummer.
Wenn eine Nummer eine gerade Anzahl an Teilern hat und das trifft auf alle wie beispielsweise die Türen 12, 13 und 15 zu, dann muss aufgrund des Wechsels von auf und zu der letzte stets die Türe verschließen.

Wenn eine Zahl jedoch eine ungerade Anzahl an Teilern hat, wie die 16, dann endet das "auf-zu"-Spiel immer in dem Moment in welchem die Türe auf ist.
Die jenigen natürlichen Zahlen, die eine ungerade Anzahl an Teilen haben, haben eine spezielle weitere Eigenschaft, es sind Quadratzahlen.

Sprich: Es bleiben am Ende folgende Türen offen: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 und 100.

Und diejenigen Türen, die am häufigsten geöffnet oder geschlossen sind, sind die mit den meisten Teilern:
60, 72, 84, 90 und 96 haben die meisten Teiler, nämlich 12.

 

[Hurlewutz]

Altes Sprichwort: "Wenn sich irgendwo eine Tür schließt, geht woanders eine auf."