Mathe-Rätsel: Welche Zahl ABCD wird gesucht?

[SteveJ]

Ich habe für Euch heute mal einen Denksportklassiker ausgegraben, der aus der sechsten Auflage des Buchs "Mathematical Recreations and Essays" von 1914 stammt:

Bei welcher vierstelligen Zahl ABCD kehrt eine Multiplikation mit 4 die Reihenfolge der vier Ziffern um und macht daraus DCBA?
Die Ziffern brauchen nicht unbedingt unterschiedlich zu sein.

Spoiler: Lösung

Da die vierstellige Zahl ABCD, wenn sie mit 4 multipliziert wird, ein auch nur vierstelliges Produkt DCBA ergibt, kann A nur 1 oder 2 sein.
Wäre die Zahl A ≥ 3, käme es zu einen Zehnerübergang und das Produkt wäre somit fünfstellig, was es ja nicht sein darf.

Die 1 scheidet aus, denn ABCD wird mit einer geraden Zahl multipliziert und deshalb müssen auch das Produkt DCBA und ihre Endziffer A gerade sein, also A = 2.
Es gilt somit 2BCD • 4 = DCB2.

Der erste Faktor ist größer als 2000, darum muss das Produkt größer als 8000 sein.
Folglich kommen für D die Ziffern 8 und 9 in Frage, aber nur wenn 2BCD auf 8 endet, hat das Produkt die Endziffer 2, also D = 8.

Daraus ergibt sich 2BC8 • 4 = 8CB2, was man aus ausführlich als (2000 + 100B + 10C + 8) • 4 = 8000 + 100C + 10B + 2 schreiben kann.

Diese Gleichung lässt sich vereinfachen und zu 13B + 1 = 2C zusammenfassen.

B und C sind Ziffern und können deshalb nicht kleiner als 0 und nicht größer als 9 sein.
Die Gleichung hat darum, wie man leicht überprüfen kann, als einzige Lösung B = 1 und C = 7.
Somit ergibt sich 2178 • 4 = 8712.

Die gesuchte Zahl ABCD lautet also 2178.